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  ANALISI MATEMATICA I Docente: Andrea Braides Email: braides@mat.uniroma2.it Telefono: 0672594688
    Programma del Corso
 
1) Programma
PARTE I

- Definizioni generali su insiemi numerici e funzioni. Dominio, immagine
- Estremi superiore e inferiore, massimi e minimi di insiemi e funzioni
- Completezza dei numeri reali
- Esistenza (o meno) degli estremi di una funzione monotona su un intervallo
- Successioni. Principio di Induzione. Limiti di successioni. Sottosuccessioni
- Limiti di funzioni: definizioni e proprietà. Calcolo e forme indeterminate
- Limiti di quozienti di polinomi (al finito e all'infinito)
- Ordini di infinito
- Limiti notevoli
- Continuità e classificazione dei punti di discontinuità
- Comportamenti asintotici. Asintoti verticali, orizzontali e obliqui
- Esistenza degli estremi per funzioni continue su intervalli chiusi
- Il teorema di Bolzano-Weierstass
- Teorema degli zeri. Il metodo di bisezione
- Monotonia e invertibilità delle funzioni
- Rapporto incrementale e sua interpretazione geometrica
- Derivate: definizioni e proprietà. Derivate fondamentali
- Regole di calcolo. Derivata della funzione inversa
- Interpretazione geometrica, determinazione della retta tangente. Punti di non derivabilità
- Teorema di de l'Hospital - Teorema di Lagrange e sue applicazioni
- Studio della monotonia, estremi relativi, punti stazionari
- Derivate di ordine successivo, polinomi di Taylor e loro utilizzo
- Studio della convessità, punti di flesso - Studio del grafico

PARTE II
- Numeri complessi: forma cartesiana e somma; forma trigonometrica ed esponenziale e prodotto; coniugato, modulo, ecc.
- Teorema fondamentale dell'algebra e scomposizione di polinomi
- Radici n-ime. Soluzioni delle equazioni di secondo grado
- Serie numeriche (reali e complesse). Serie geometriche. Serie armonica e generalizzazioni
- Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto, radice, rapporto
- Criterio di Leibnitz e convergenza assoluta
- Serie di potenze - Raggio e insieme di convergenza
- Principali serie di Taylor
- Integrali definiti e indefiniti
- Teorema fondamentale del del calcolo. La funzione integrale - Integrazioni per parti e sostituzione;
- Classi di funzioni integrabili: (prodotti di) polinomi, esponenziali, seno e coseno, funzioni razionali (metodo dei fratti semplici)
- Integrali impropri; criteri di convergenza
- Legami tra serie e integrali impropri
- Equazioni differenziali a variabili separabili
- Equazioni differenziali lineari del primo ordine
- Equazioni differenziali lineari di ogni ordine a coefficienti costanti
- Cenni di calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili.

2) Risultati d'apprendimento previsti.
Familiarizzazione con i concetti base dell'Analisi Matematica e con i primi rudimenti di calcolo. Apprendimento del linguaggio necessario per la formalizzazione matematica che verrà utilizzato negli altri corsi.

3) modalità di frequenza: la frequenza non è obbligatoria, ma tuttavia è fortemente consigliata nell’interesse dello studente ai fini di un efficace e corretto apprendimento

4) Testo di riferimento: M. Bertsch, R. Dal Passo, L.Giacomelli, ''Analisi Matematica'', McGraw-Hill, 2008.