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  ANALISI FUNZIONALE ED EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI (II PARTE) Docente: Alessandra Cutrì Email: cutri@mat.uniroma2.it
    Programma del Corso
 
PROGRAMMA DEL CORSO
1.Definizione di equazione a derivate parziali: generalità, esempi, descrizione di alcuni modelli matematici che conducono allo studio di una equazione a derivate parziali, problemi ben posti secondo Hadamard
2. Problema di Cauchy per equazione di trasporto: formula di Duhamel, introduzione al metodo delle caratteristiche
3. Equazione di Laplace e Poisson: generalità, problemi ben posti, unicità della soluzione di problemi al contorno, principio variazionale di Dirichlet, funzioni armoniche e proprietà, principio di massimo, disuguaglianza di Harnack e teorema di Liouville
4.Distribuzioni: spazio delle funzioni test, definizione di distribuzione, convergenza nel senso delle distribuzioni, distribuzioni indotte da funzioni localmente sommabili, delta di Dirac, delta approssimanti, derivate distribuzionali, proprietà ed esempi, convoluzione, cenni alle distribuzioni temperate.
5. Richiami sulla trasformata di Fourier di funzoni L^1, L^2, trasformata di Fourier di una distribuzione temperata, proprietà.
6.Soluzione fondamentale per l’equazione di Laplace, funzione di Green e formule di rappresentazione di Green
7. Equazioni di Diffusione: generalità, equazione del calore, problemi ben posti per l’equazione del calore, teorema di unicità per i problemi di Cauchy- Dirichlet, Cauchy-Neumann,Cauchy-Robin, principio del massimo, soluzione fondamentale, formule di media e proprietà.
8. Equazione delle onde: generalità, equazione unidimensionale, formula di d’Alambert, dominio di dipendenza e di influenza, soluzione fondamentale, equazione delle onde multidimensionale, problemi ben posti, unicità, medie sferiche, formula di Kirchhoff e Poisson
9. Spazi di Sobolev: definizione e proprietà elementari, approssimazione con funzioni regolari (locale e globale), tracce, teorema di Rellich, disuguaglianza di Poincaré, teoremi di immersione.
10. Formulazione variazionale di problemi ellittici: soluzioni deboli, teorema di Lax Milgram, stime dell’energia, regolarità di soluzioni deboli (locale e globale), principi di massimo per soluzioni deboli, autovalori e autofunzioni, decomposizione spettrale.
11. Formulazione variazionale di problemi di evoluzione: formulazione debole dell’equazione del calore, metodo di Faedo-Galerkin.

RISULTATI DELL'APPRENDIMENTO
Lo scopo del corso è fornire agli studenti alcuni strumenti avanzati dell’analisi matematica necessari alla formulazione ed allo studio di modelli matematici.
PROPEDEUTICITA'
Analisi Matematica I, Analisi Matematica II, Geometria, Prima parte del corso di Analisi Funzionale ed equazioni alle derivate parziali
TESTI DI RIFERIMENTO
L.C.Evans ''Partial Differential Equations'' A.M.S. Graduate Studies in Mathematics,1998
E. Dibenedetto ''Partial Differential Equations'', Bikhauser
H.Brezis ''Analyse fonctionelle:theorie et applications'', Paris, Masson