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  ANALISI MATEMATICA II(AMBIENTE&TERRITORIO)-ANALISI 3/4(ENERGETICA,MECCANICA) Docente: Alessandra Cutrì Email: cutri@mat.uniroma2.it
    Programma del Corso
 

PROGRAMMA I parte del corso (dal 27-09 al 20-11-2010):

1. Calcolo infinitesimale per funzioni di più variabili: elementi di topologia in R^N; limiti e continuità in R^N per funzioni a valori scalari e vettoriali; curve parametrizzate.
2.Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili: derivate parziali e direzionali; gradiente; differenziabilità e piano tangente; teorema del differenziale totale; estremi relativi; formula di Taylor; criteri di estremo basati sulla matrice Hessiana;
3. Differenziabilità per funzioni vettoriali di più variabili reali, matrice Jacobiana
4. Curve e integrali curvilinei di I specie: curve regolari; lunghezza di una curva; integrali curvilinei di prima specie; calcolo di centri di massa
5. Funzioni implicite, Massimi e Minimi vincolati: Concetto di funzione implicita; Teorema del Dini; estremi vincolati di funzioni di più variabili; metodo dei moltiplicatori di Lagrange
6.Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: equazioni differenziali e problema di Cauchy; equazioni del primo ordine lineari e a variabili separabili; equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogonee e non omogenee; applicazione all' equazione dell'oscillatore armonico.
7. Integrali doppi e tripli: Definizione di integrale doppio e triplo secondo Riemann; insiemi misurabili secondo Peano-Jordan ed insiemi di misura nulla; formule di riduzione; trasformazioni di coordinate; coordinate polari, cilindriche, sferiche.

PROGRAMMA II parte del corso (dal 22-11-2010 al 29-01- 2011)
8. Campi vettoriali e forme differenziali: rotore e divergenza di campi vettoriali, proprietà; integrali curvilinei di seconda specie; linguaggio delle forme differenziali; campi vettoriali irrotazionali e conservativi, potenziale, teorema di Gauss-Green, di Stokes e della divergenza nel piano.
9. Superfici, integrali superficiali: superfici parametriche nello spazio (definizioni e proprietà); superfici regolari, piano tangente, versore normale; area di una superficie e integrali di superficie.
10. Flusso di un campo vettoriale, Teorema di Stokes e della divergenza nello spazio e applicazioni
11. Successioni e serie di funzioni: convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni; scambio di limiti con derivate e integrali; serie di potenze (raggio di convergenza e criteri per determinarlo); derivazione e integrazione per serie; serie di Taylor e funzioni analitiche.
12 . Equazioni differenziali ordinarie (continuazione): il problema di Cauchy per equazioni e sistemi di ordine generale (teoremi di esistenza e unicità locale, prolungabilità, lemma di Gronwall e dipendenza continua delle soluzioni); equazioni lineari (proprietà delle soluzioni, matrice Wronskiana); cenni alla risoluzione di equazioni mediante serie di potenze (eq. di Bessel, Legendre, Hermite), equazioni differenziali esatte. Stabilità di configurazioni di equilibrio di equazioni autonome e sistemi autonomi, diagramma di fase per sistemi lineari autonomi bidimensionali, teorema di linearizzazione, integrali primi e sistemi Hamiltoniani (cenni), cenni alla analisi qualitativa di equazioni differenziali

RISULTATI DELL'APPRENDIMENTO:
Lo scopo del corso è quello di fornire agli studenti alcuni strumenti basilari dell'analisi matematica necessari per la comprensione e lo studio di modelli matematici.

PROPEDEUTICITA':
Contenuti dei corsi di Analisi Matematica I (10 CFU), Geometria (per il corso di Analisi II (10CFU) e per il corso di Analisi 3 (5CFU)).
Contenuti dei corsi di Analisi Matematica I (10CFU), Geometria e Analisi Matematica 3 ( per il corso di Analisi Matematica 4(5CFU)).

TESTI DI RIFERIMENTO:
Bramanti, Pagani, Salsa, ''Analisi Matematica 2'', Ed.Zanichelli (2009)
Fusco, Marcellini, Sbordone ''Analisi Matematica 2'', Ed. Liguori
Pagani, Salsa, ''Analisi Matematica vol. I e II, Ed. Masson

Marcellini, Sbordone ''Esercitazioni di Matematica, II volume'', Ed. Liguori
Salsa,Squellati ''Esercizi di Analisi Matematica 2''Ed. Masson