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Come docenti di matematica, oltre a fornire gli studenti di tecniche
matematiche ben rodate che si applicano frequentemente, tentiamo anche
di suggerire come affrontare con forze proprie problemi non incontrati
in precedenza. Ecco un problema di questo tipo, che ho sentito a suo
tempo dal mio professore Ciprian Foias.
Consideriamo n individui che, nell'organizzarsi, si raggruppano
in k gruppi di peso uguale 1/k, contenenti, in ordine crescente,
n(1), ... ,n(k) individui. Gli individui nel gruppo j-esimo hanno
peso uguale 1/kn(j). L'instabilita' del raggruppamento si puo'
misurare con l'entropia, che e' uguale alla somma rispetto a j del
logaritmo di kn(j), diviso k. Il raggruppamento ha stabilita'
massimale se la sua entropia e' minima. Allora e' naturale domandarsi:
quale e' la struttura dei raggruppamenti di stabilita' massimale?
Anzitutto, un raggruppamento di stabilita' massimale deve contenere
k-1 gruppi contenenti ciascuno un solo individuo (i leader), ed un
gruppo di n-k+1 individui. Infatti, se un gruppo diverso dall'ultimo
contenesse piu' di un individuo, allora, lasciando in questo solo un
individuo ed aggiungendo il resto all'ultimo gruppo, l'entropia
diminuerebbe. Ma allora l'entropia del gruppo e' il logaritmo di n-k+1,
diviso k, piu' il logaritmo di k. Ora la domanda e': quanto dev'essere
k perche' questa entropia sia minima?
Il problema di cui sopra e' elementare, ma non facile. Si arriva
ai risultati:
Per n fra 3 e 9 c'e' un solo raggruppamento di stabilita' massimale,
il quale consiste di due gruppi di peso uguale: uno contiene un solo
individuo ed il secondo contiene tutti gli altri individui.
Per n uguale a 10 sono possibili due raggruppamenti di stabilita'
massimale, consistenti o di due gruppi di peso uguale, uno contenente
un solo individuo, o di tre gruppi di peso uguale, due dei quali
contenenti un solo indiviuo ciascuno.
Per n uguale a 11 c'e' di nuovo un solo raggruppamento di stabilita'
massimale, il quale consiste di tre gruppi di peso uguale, due dei quali
contenenti un solo individuo ciascuno.
E' divertente l'interpretazione seguente: con la crescita del numero
dei paesi comunisti oltre a 10, ragioni di stabilita' hanno richiesto
che la Cina diventi leader di peso uguale al peso dell'Unione Sovietica
in questo gruppo. Anche se questa interpretazione non puo' avere nessuna
pretesa di spiegare fenomeni complessi come la crescita del peso della
Cina nel mondo comunista, essa illustra come si puo' usare la matematica
per affrontare problemi di vari tipi.
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